Порядок действий в математике
Порядок действий в математике
Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).
Операции действия:
- сложение (+)
- вычитание (-)
- умножение (*)
- деление (:)
Операции отношения:
- равно (=)
- больше (>)
- меньше (<)
- больше или равно (≥)
- меньше или равно (≤)
- не равно (≠)
Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.
- Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.
Вычитание — действие, обратное сложению.
- Запись вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.
Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 — 1 = 9.
Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.
- Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
- 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3
В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.
Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.
Деление — арифметическое действие обратное умножению.
- Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.
В этом случае произведение делителя 6 и частного 5, в качестве проверки, дает делимое 30.
Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить в виде дроби.
Возведение степень — операция умножения числа на самого себя несколько раз.
Основание степени — число, которое повторяется сомножителем определённое количество раз.
Показатель степени — число, которое указывает, сколько раз берется одинаковый множитель.
Степенью называется число, которое получается в результате взаимодействия основания и показателя степени.
- Запись: 34 = 81, где 3 — основание степени, 4 — показатель степени, 81 — степень.
- 3^4 = 3 * 3 * 3 * 3
Вторая степень называется квадратом, третья степень — кубом. Первой степенью числа называют само это число.
Извлечение корня — арифметическое действие, обратное возведению в степень.
- Запись: 4√81 = 3, где 81 — подкоренное число, 4 — показатель корня, 3 — корень.
- З^4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).
- 2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.
При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.
3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.
Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.
Читаем выражение слева направо и выбираем порядок действий по приоритету. Сначала выполняем действия в скобках. Затем умножение и/или деление. Далее складываем и вычитаем.
Если скобки имеют несколько вложений, то есть если внутри скобок есть ещё скобки, то сначала выполняем действия во внутренних скобках. Для простоты понимания, выражение в скобках можно воспринимать как самостоятельное выражение, то есть как отдельный пример, который надо решить. Внутри скобок действия выполняются согласно тому же порядку: Действия в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.
Умножение и деление не имеет между собой приоритета и выполняются слева направо, также как и сложение с вычитанием.
38 – (10 + 6) = 22;
Итак, вспомним о том, что сначала вычисляются выражения в скобках
1) в скобках: 10 + 6 = 16 ;
2) вычитание: 38 – 16 = 22 .
Если в выражение без скобок входит только сложение и вычитание, или только умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.
10 ÷ 2 × 4 = 20;
Порядок выполнения действий:
1) слева направо, сначала деление: 10 ÷ 2 = 5 ;
2) умножение: 5 × 4 = 20 ;
10 + 4 – 3 = 11 , т.е.:
Если в выражении без скобок есть не только сложение и вычитание, но и умножение или деление, то действия выполняются по порядку слева направо, но преимущество имеет умножение и деление, их выполняют в первую очередь, а за ними и сложение с вычитанием.
18 ÷ 2 – 2 × 3 + 12 ÷ 3 = 7
Порядок выполнения действий:
4) 9 – 6 = 3 ; т.е. слева направо – результат первого действия минус результат второго;
5) 3 + 4 = 7 ; т.е. результат четвертого действия плюс результат третьего;
Если в выражении есть скобки, то сначала выполняются выражения в скобках, затем умножение и деление, а уж потом сложение с вычитанием.
30 + 6 × (13 – 9) = 54 , т.е.:
1) выражение в скобках: 13 – 9 = 4 ;
2) умножение: 6 × 4 = 24 ;
3) сложение: 30 + 24 = 54 ;
Итак, подведем итоги. Прежде чем приступить к вычислению, надо проанализировать выражение: есть ли в нем скобки и какие действия в нем имеются. После этого приступать к вычислениям в следующем порядке:
1) действия, заключенные в скобках;
2) умножение и деление;
3) сложение и вычитание.
Если вы хотите получать анонсы наших статей подпишитесь на рассылку “Новости сайта“.
- Продолжаем рубрику «основные содержательные линии курса математики начальной школы». В.Продолжаем тему «основные содержательные линии курса математики начальной школы». В.Продолжим изучение предметов, которые изучают наши дети в начальной школе.Продолжим изучение программы математики в начальной школе и на этот.Одним из простых арифметических действий является деление. Мы знаем, что.
Понравилась статья — поделитесь с друзьями:
Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже
Отзывов (60)
Полезная статья. Спасибо!
Очень все понятно. Для детей важна такая разъяснительная работа. Где Вы были, когда я пошла в школу?
)) Покажу сыну, пусть изучает. Я это вроде все помню. Спасибо )
Спасибо, сайт нужный. Честно говоря, уже кое – что подзабыла, а уроки с внучкой делаем. Вот, вспомнилось…
Очень необычная тематика сайта. Но тем, наверное, он и интересен. Иногда не знаешь, как объяснить ребенку тот или иной материал школьной программы.
Какое подспорье для родителей. И полезности для деток. Не всегда они материал усваивают в школе.
Сам учитель. Сайт очень полезный. Детям и родителям – хорошее подспорье
Вы взяли пример из головы, в начальной школе не изучают отрицательных чисел, а также не оперируют такими большими числами. Результат пятого действия будет отрицательным.
Но попробуем решить данный пример:
1) Выражение в скобках: 64385 – 39288 = 25097
Далее умножение:
2) 4217 * 4 = 16868
3) 25097 * 3 = 75291
4) 321 * 1000 = 321000
Теперь слева на право
5) 16868 – 75291 = -58423 (. )
Это уже шестой класс, тема “Сложение положительных и отрицательных чисел”
6) -58423 + 321000
От перемены мест слагаемых сумма не меняется:
321000 + (-58423) = 321000 – 58423 = 262577
Помогите люди добрые.
Я тут читал кое где в иностранной литературе, что если в выражении есть действия двух уроовней 1(сложение и вычитание) и 2 (умножение и деление)
к примеру 20-6:3х2+2=
то в первую очередь должно выполнятся действия 2-ого уровня, потом 1-го. Но загвоздка с тем, что говорится – надо выполнить сперва умножение а потом деление, а не как нас учили по правилу слева направо.
Объясните плз.
Обязательно слева на право, так как умножение и деление равноценны. Но, если представить умножение в виде дроби:
тогда 2 перенесется в числитель и первым выполняется умножение
(6 * 2)/3 = (6:3)*2 = 4.
То есть порядок выполнения важен!
Помогите решить пример у всех расходятся ответы
6/2*(1+2)
ответь пожалуйста
Если 6 : 2 * (1 + 2) =
1) 1 + 2 = 3
2) 6 : 2 = 3
3) 3 * 3 = 9
Если
6
———-
2 * (1 + 2)
то есть 6 : (2 * (1 + 2))
1) 1 + 2 = 3
2) 2 * 3 = 6
3) 6 : 6 = 1
Это два разных примера.
Если
6 * (1 + 2)
———–
2
1) 1 + 2 = 3
2) 6 * 3 = 18
3) 18 : 2 = 9
Это тот же первый вариант
Если Вы правильно написали, то это первый вариант и ответ 9
Очень жаль, если вы этому детей учите.. Примеры 6:2*(1+2) и 6/2*(1+2) одинаковые… никогда не было такого, чтобы черта дроби и двоеточие означали разные действия или определяли порядок действий.
В данном случае необходимо также учесть правило раскрытия скобок:
6:2*(1+2) = 6:(2*1 + 2*2) = 6:(2+4) = 6:6 = 1 – единственный верный ответ.
6:2*(1+2) и 6/2*(1+2) это абсолютно эквивалентные записи (то есть одинаковые).
Порядок действий следующий:
1) 1+2 = 3
2) 6:2 = 3
3) 3*3 = 9
Ваш вариант с раскрытием скобок будет верен, если запись выражения будет следующей:
6:(2*(1+2)) = 1;
Ваше недоумение понятно, оно имеет глубокие исторические корни, в старых учебниках по алгебре можно встретить упоминание о именно такой последовательности действий, как предлагаете вы. Это связанно с неоднозначностью интерпретации записи. Но в наше время это разночтение устранено. Так что не надо забивать людям голову неверной информацией, а тем более забивать этими пережитками прошлого головы детей.
Простой пример. Ребенок на уроке информатики на языке Паскаль запишет y:=6:2*(1+2) и, поверьте мне, получит y=9. Не ломайте детскую психику.
В связи с порядком действий бывают забавные ситуации когда человеку в руки попадает калькулятор с обратной польской записью, а он и понятия не имеет об этом. И начинается “Святая Война за Истину”. Будьте проще, меньше пафоса, мы все люди и нам свойственно ошибаться. Добра Вам.
Сочетание скобок и других знаков
Важно помнить, что перед скобкой (открывающей или закрывающей) никогда не ставится знак препинания: запятая, двоеточие, точка с запятой, тире. Эти пунктуационные знаки уместны после закрывающей скобки.
Возьмите на заметку! Не используйте предложения с двойными скобками. Если внутри одной вставной конструкции надо вставить еще одну, то внешнее (первое вводное предложение) выделяется скобками, а внутреннее – при помощи тире.
Скобки редко встречаются в тексте и поэтому привлекают внимание читателей. Всегда помните, что и как ставить в скобки.
Примеры решения неравенств
В заключение кратко разберем два нестрогих неравенства. И если в первой задаче еще есть пояснения, то вторая задача будет оформлена именно так, как и надо оформлять настоящее решение.
Задача. Решите неравенство:
( x + 8)( x − 3) ≤ 0
Как обычно, приравниваем все к нулю:
( x + 8)( x − 3) = 0;
x + 8 = 0 ⇒ x = −8;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
Теперь рассматриваем функцию, которая находится в левой части неравенства:
f ( x ) = ( x + 8)( x − 3)
Подставим в эту функцию бесконечность — получим выражение вида:
Чертим координатную ось, отмечаем корни и расставляем знаки:
Поскольку мы решаем неравенство или, что то же самое, осталось записать ответ:
Задача. Решите неравенство:
x (12 − 2 x )(3 x + 9) ≥ 0
x (12 − 2 x )(3 x + 9) = 0;
x = 0;
12 − 2 x = 0 ⇒ 2 x = 12 ⇒ x = 6;
3 x + 9 = 0 ⇒ 3 x = −9 ⇒ x = −3.
x ≥ 6 ⇒ f ( x ) = x (12 − 2 x )(3 x + 9) → (+) · (−) · (+) = (−) < 0;
x ∈ (−∞ −3] ∪ [0; 6].
Как делать ссылки в дипломной работе
Любую цитату или заимствованные из разного рода документов сведения, используемые в качестве аргумента или базы исследования, должна сопровождать ссылка на первоисточник. Она ставится сразу после предложения, слова, цифровых данных, к которым относится.
Виды библиографических ссылок по месту расположения в тексте дипломной работы
Расставлять сноски учат многие * , но не у всех получается доходчиво объяснить и наглядно показать, как это делается.
* Иванов И. И., Петров А. А. Как написать диплом и выжить. М., 2018. 2754 с.),
Большинство вузовских методичек рекомендует делать ссылки в дипломных работах в виде затекстовых отсылок в квадратных скобках с указанием порядкового номера источника в списке литературы.
Как правильно оформить ссылки в дипломе
Общие правила оформления содержит ГОСТ Р 7.0.5–2008. Согласно национальному стандарту:
- Для затекстовых ссылок используется сплошная для всей работы нумерация, но допускается и отдельная для каждой главы.
- При необходимости уточнить месторасположение в первоисточнике цитируемой информации в отсылку добавляется конкретная страница: [45, с. 347].
- Если делается ссылка на многотомный или состоящий из нескольких частей документ, то в отсылке должно содержаться уточнение: [31, т. 2, с. 11].
- Блоки сведений в отсылке, включающей указание сразу на несколько источников, разделяются точкой с запятой: [15, т. 1, с. 5; 24; 16].
- В ссылке можно сокращать любые слова (в соответствии с ГОСТом Р 7.0.12–2011), кроме входящих в название первоисточника.
Пример, как делать ссылки в дипломе
Общая схема компоновки информации в библиографической ссылке:
Обратите внимание: названия пишутся без кавычек, предписанный знак для разделения блоков библиографического описания (. – ) в ссылках, особенно внутритекстовых, можно заменять просто точкой. Вместо общего количества страниц в конце при необходимости уточнить место расположения цитируемого отрывка указываются его «точные координаты»: с. 255–258.
- Законодательные акты.
- Книги одного и двух авторов.
- Учебники.
- Статьи.
- Интернет-источники.
Ссылки на электронные сетевые ресурсы делаются по общим правилам, специфика их оформления состоит в указании:
- специальных системных требований, если для доступа требуется особое ПО (PowerPoint или Adobe Acrobat Reader и др.);
- информации об ограничениях доступности;
- даты обращения к источнику, если он содержит обновляющиеся сведения.
- Комплексная ссылка.
Источники располагают по алфавиту или в хронологическом порядке, независимо от языка издания объекта комплексной ссылки (то есть английские, русские и т. д. вместе). Возможен вариант, когда материалы указываются для каждого языка отдельно, но в алфавитном порядке названий языков: например, сначала албанские, затем, болгарские, венгерские, греческие и т. д.
Попробуй расставить несколько знаков + между данными числами так чтобы в сумме получилось 100 1234567 равно 100.
На этой странице находится вопрос Как нужно расставить знаки + в записи 1234567 чтобы получилась сумма, равная 100?. Здесь же – ответы на него, и похожие вопросы в категории Математика, которые можно найти с помощью простой в использовании поисковой системы. Уровень сложности вопроса соответствует уровню подготовки учащихся 1 — 4 классов. В комментариях, оставленных ниже, ознакомьтесь с вариантами ответов посетителей страницы. С ними можно обсудить тему вопроса в режиме on-line. Если ни один из предложенных ответов не устраивает, сформулируйте новый вопрос в поисковой строке, расположенной вверху, и нажмите кнопку.
Скобка в скобке
Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение (7x+2(5-(3x+y))).
Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.
При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение, просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.
Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые (7x+2(5-(3x+y))).
Решение:
Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.
Теперь раскрываем вторую скобку, внешнюю.
Упрощаем получившееся выражение…
Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые (-(x+3(2x-1+(x-5)))).
Решение:
Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.
Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.
Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.
И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.
Раскрытие скобок — это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.